HW2 Answer

1 1.8~1.10

δ (z) = δ (r \cos θ) = \frac{1}{r} δ (θ - \frac{π}{2})

∵ δ (f (x)) = \sum_{n} \frac{δ (x - x_{n})}{| f^{'} (x_{n}) |}

对于多维变量 $x \in R^{n}$ ， $δ (f (x))$ 的展开式为：

δ (f (x)) = \sum_{i} \frac{δ (x - x_{i})}{| \nabla f (x_{i}) |}

对于 $f (x) : R^{n} \to R^{n}$

δ (\vec{f} (\vec{x})) = \sum_{i} \frac{δ (\vec{x} - {\vec{x}}_{i})}{{| \begin{aligned} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \end{aligned} |}_{\vec{x} = {\vec{x}}_{i}}}

对于给定的流速矢量 $v = (\ln s) \hat{z}$ ，在柱坐标系 $(s, ϕ, z)$ 下，

\begin{aligned} \nabla \times v & = \frac{1}{s} | \begin{array}{c} \hat{s} & s \hat{ϕ} & \hat{z} \\ \partial_{s} & \partial_{ϕ} & \partial_{z} \\ v_{s} & s v_{ϕ} & v_{z} \end{array} | \\ = (0 - 0) \hat{s} + (0 - \frac{\partial \ln s}{\partial s}) \hat{ϕ} + 0 \hat{z} \\ = - \frac{1}{s} \hat{ϕ} \end{aligned}

所以 $A = v \times (\nabla \times v)$ 得

\begin{array}{r} A = (\ln s \hat{z}) \times (- \frac{1}{s} \hat{ϕ}) = \frac{\ln s}{s} \hat{s} \end{array}

其散度为

\begin{array}{r} \nabla \cdot A = \frac{1}{s} \frac{\partial (s A_{s})}{\partial s} + \frac{1}{s} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z} = \frac{1}{s} \frac{\partial}{\partial s} (s \cdot \frac{\ln s}{s}) + 0 + 0 = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{s^{2}} \end{array}

旋度为

\begin{array}{r} \nabla \times A = 0 \end{array}

直接计算散度为

\begin{aligned} \nabla \cdot E & = \nabla \cdot \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int d V^{'} \frac{ρ^{'} \hat{R}}{R^{2}} \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int d V^{'} ρ^{'} \nabla \cdot \frac{\hat{R}}{R^{2}} \\ = \frac{1}{ϵ_{0}} \int d V^{'} ρ^{'} δ^{3} (R) \\ = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \end{aligned}

直接计算旋度为

\begin{aligned} \nabla \times E & = \nabla \times \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int d V^{'} \frac{ρ^{'} \hat{R}}{R^{2}} \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int d V^{'} ρ^{'} \nabla \times \frac{\hat{R}}{R^{2}} \\ = 0 \end{aligned}

定义 Riemann-Silberstein 矢量

F = E + i c B

则自由场的 Maxwell 方程组可以写作

i \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{F}}{\partial t} = \nabla \times \vec{F}, \nabla \cdot \vec{F} = 0

而题中的变换可以表示为

F \to F^{'} = e^{- i θ} F

可以看出这个多出来的因子 $e^{- i θ}$ 能直接挪到 Maxwell 方程组外边，不会影响方程的形式。

题中的变换也可以表示为电磁张量 $F^{μ ν}$ 及其对偶张量 ${\tilde{F}}^{μ ν}$ 的线性组合

F^{' μ ν} = F^{μ ν} \cos θ + {\tilde{F}}^{μ ν} \sin θ

后面(应该)会学到，自由场的 Maxwell 方程组等价于

\partial_{μ} F^{μ ν} = \partial_{μ} {\tilde{F}}^{μ ν} = 0

显然上述的变换不会改变 4-形式的 Maxwell 方程组。

这个张量怎么有点眼熟，算电磁和引力辐射时貌似会用到

\begin{aligned} T_{i j} & = \int δ (r - 1) x_{i} x_{j} d^{3} x \\ = \iint δ (r - 1) x_{i} x_{j} r^{2} d r d Ω \\ = \int_{0}^{\infty} \int_{4 π} δ (r - 1) (\frac{x_{i}}{r}) (\frac{x_{j}}{r}) r^{4} d r d Ω \\ = \int_{0}^{\infty} r^{4} δ (r - 1) d r \oint n_{i} n_{j} d Ω \\ = \oint n_{i} n_{j} d Ω \end{aligned}

在旋转变换下，向量 $n_{i}$ 变为 $n_{i}^{'} = R_{i k} n_{k}$ ，所以

\begin{aligned} T_{i j}^{'} & = \oint (R_{i k} n_{k}) (R_{j l} n_{l}) d Ω = R_{i k} R_{j l} \oint n_{k} n_{l} d Ω \\ = R_{i k} R_{j l} T_{k l} \end{aligned}

见 ppt， $C = \frac{4 π}{3}$

第一个利用 $d Ω = \sin θ d θ d ϕ$ 即可。

第二个，根据对称性，可以直接算 z 方向计算： $= \iint \frac{z}{r} \sin θ d θ d ϕ = \iint \frac{r \cos θ}{r} \sin θ d θ d ϕ = 0$

第三个，看讲义

第四个，被积函数是奇函数，结果为零

第五个，积分结果必须是 $S O (3)$ 下的不变张量，且阶数为四，它必须由克罗内克符号 $δ$ 组合而成。所有可能的配对方式只有三种：

\oint n_{i} n_{j} n_{k} n_{l} d Ω = C (δ_{i j} δ_{k l} + δ_{i k} δ_{j l} + δ_{i l} δ_{j k})

注意，由于 $n_{i} n_{j} n_{k} n_{l}$ 对索引 $i, j, k, l$ 的任意排列都是全对称的，所以这三项前的系数 $C$ 必须相等。先做两次缩并，左边：

\oint (n_{i} n_{i}) (n_{k} n_{k}) d Ω = \oint 1 \cdot 1 d Ω = 4 π

右边：

(δ_{i i} δ_{k k} + δ_{i k} δ_{i k} + δ_{i k} δ_{i k}) = 9 + 3 + 3 = 15

所以 $C = \frac{4 π}{15}$ .

略

用柱坐标爆算，注意：

E = \frac{e}{4 π ε_{0}} \frac{γ R}{[s^{2} + γ^{2} (z - v t)^{2}]^{3 / 2}}

剩下的懒得写了。